La mémoire de mathématiques

数学めも by Müde

1 命題と真と偽

「某麻雀研究家のヒマつぶし」カテゴリーの記事は、 http://togetter.com/li/648559 について、私なりに考察したものをまとめた記事です。主に命題論理について扱っています。


論理学を知っている人は、論破と言わない。

論理学において、「命題」とは正しいか間違っているかが決まる文のことを言います。例えば…

  • 東京は日本の首都である
  • 金属は常温で固体だ
  • 素数はすべて奇数である

東京は日本の首都なのは正しいですね。しかし、下2つの文は正しいのでしょうか。

まず、真ん中の文。私達の世界には、常温で液体の金属があることを知っています。水銀です。水銀は金属なのに、常温で固体ではありません。ということは、真ん中の文には、当てはまらない要素があるのです。従って、「金属は常温で固体だ」とは言えません。

また、一番下の文については、素数には2という偶数が存在します。なので、これも「素数はすべて奇数である」とは言えません。

このように、ある命題があったとき、その命題に1つでも適合しない要素があれば、その命題は間違っている、誤っていると言えるでしょう。そして、そのような誤った命題を「偽」であると表現します。逆に、正しい命題を「真」と表現します。

真だと思う命題を崩すには、1つの例外を持ってこればいいんですね。

一番最初に書いた文を命題と考えた時、この命題が正しいかどうかは分かりません。ただ、論理学を知っている人で、論破と言う人が居れば、最初に書いた命題は偽であると言えそうです。


以下、Wikibooks高等学校数学A 集合と論理」より引用。

(数学的に)正しいかどうかを明確に判断できる主張を命題(めいだい、英: proposition)と呼ぶ。 例えば、”7は素数である”は命題の例である。 (”5000は大きい数である”などは命題とはならない。 「大きい」という言葉の判断が主観的なものであり、 判断に明確な基準が設定できないからである。)

ある命題が明確に正しい(と証明される)とき、その命題は 真(しん、英:truth)であると呼ぶ。(“7は素数である”は真である。) 命題が真でないとき、命題は偽(ぎ、英:false)であると言う。 例えば、命題 「 もし x2 = 4 であれば x = 2 である。 」 は、偽の命題である。 この方程式はx = -2も解に持つ。