La mémoire de mathématiques

数学めも by Müde

2 「ならば」と否定

論理学では、命題を主語と述語(結論)に分けて、それを矢印でつなぐ表現をよく使います。

  • 東京⇒日本の首都だ
  • 金属⇒常温で固体だ
  • 素数⇒すべて奇数だ

このような文(というか、論理式)を日本語で読む時、⇒を「ならば」と読みます。「東京ならば日本の首都だ」のように。

主語もしくは述語を反対の意味にすることを否定といいます。否定は論理式においては、¬ という記号で表します。

東京を否定する場合は「¬東京」と書きます。この場合、東京で無いもの、つまり東京以外を意味します。読み方は「東京以外」と読めば良さそうです。

ここで気をつけたいのは、「すべて奇数だ」の否定です。すべて奇数の否定は「すべて偶数」ではありません。「すべて奇数」全体を否定するので、「”すべて奇数”ではない」となります。すべて奇数ではない、というのは、どういう状況かというと、幾つかは奇数だけど、そうではないものも存在するよ、ということ。つまり、一部偶数が存在する、という意味です。

「すべてAではない」の否定は「Aでないものもある」です。このへんが、少し、常識的ではないところというか、論理学っぽいところですね。


Wikibooksによれば、この記事で「主語」と言っていたものを「仮定」と呼ぶとのこと。私は知りませんでした…。

以下、Wikibooks高等学校数学A 集合と論理」より引用。

ある命題Pが、 “AならばBである”というように 述べられているとする。 このとき、条件Aを命題Pの仮定(かてい、英:assumption)といい、条件BをPの結論(けつろん)と呼ぶ。このとき、Pを

A ⇒ B

のようにあらわすことがある。