La mémoire de mathématiques

数学めも by Müde

3 逆と裏と対偶

論破と言う人は、論理学を知らない。

ある命題をA⇒Bと表す時、AとBをひっくり返したり、否定を使うことで、次の3種類の命題を作ることが出来ます。

  • B⇒A (逆)
  • ¬A⇒¬B (裏)
  • ¬B⇒¬A (対偶)

それぞれの命題には特別な名前が付けられていて、その名前をカッコに書いておきました。

ここで面白いのは、元の命題の結果(真か偽か)と、対偶の命題の結果は一致するということです。これは集合論から簡単に証明ができますが、とりあえずここでは省略します。

そして、逆と裏は、元の命題結果と一致するかは分かりません。一致する場合もあるし、一致しない場合もあります。

「逆は必ずしも真ならず」という言葉を聞いたことはあるでしょうか。これは、ここから来ているのですね。具体的な例を考えれば簡単にわかります。人間⇒動物。これは合っていますね。しかし、動物⇒人間、これは間違っています。なぜなら、人間以外の動物もいるからです。

1.1に書いていた「論理学を知っている人は、論破と言わない」。論理式で書けば、論理学を知っている⇒論破と言わない です。

この対偶は、論破と言う⇒論理学を知らない となります。

また、裏は、論理学を知らない⇒論破と言う となります。

さて、ようやく、必要な道具が揃いましたね。