La mémoire de mathématiques

数学めも by Müde

述語論理入門1

述語論理とは「命題を主語と述語に分離した上で命題についての分析を行う論理のこと」だそう。

ここで、「論理学が分かっている人は、論破と言わない」という文があったとき、主語は「論理学が分かっている人」、述語は「論破と言わない」

述語 P を「論破と言わない」、主語 x を「論理学が分かっている人」とすると、 P(x) は、論理学が分かっている人は論破と言わない、となる。

一階述語論理では、主語(→「個体」と言ったほうが正確っぽい?)に対して量を表す記号が使える。ここが、命題論理との違い。

「全ての」を表すのが \forall 、「ある一部の」を表すのが \exists なので、

\forall x(P(x)) なら、全ての論理学を分かっている人は論破とは言わない、となるし…

\exists x(\lnot P(x)) なら、ある一部の論理学を分かっている人は論破と言う、となる。

ここで新たな述語 Q を持ってきて、Q を「BLが好き」とすれば、

\forall x(Q(x)) は全ての論理学を分かっている人はBLが好き、となる。

また、y として「女子」を持ってこれば、

\exists y(Q(y)) は、ある一部の女子はBLが好き、となる。

このように、命題を主語と述語に分けることができるのが述語論理。一階述語論理では、主語(個体)に対して量を示す量化記号を用いることができる。そして、二階述語論理では、述語も量化できるそうだ。


これについて、後ほどTwitterで、このようなコメントを頂きました。

たしかに指摘された通りです。私の書き方だと、主語が少し限定的すぎました。